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頭の体操いってみましょうか

  • 2006/09/03
  • 雑記

    あなたは賞品として車をもらえるゲームに参加しています。
    目の前に3つドアがあり、そのうちの一つは車(当たり)があり、残りの2つはヤギ(ハズレ)が隠されています。
    ではまず車が隠れていると思うドアの前に立ってください。
    次にゲームの司会者(車がどのドアにあるか知っている)が、あなたが選ばなかったドア(2つありますね)のうち一つだけ残るようにヤギのいるドアを開けます。
    この後、あなたはドアを1回だけ替えることができます。もちろん替えなくてもいいのです。最終的に選んだドアの後ろに車があれば、その車をもらえます。さて、どっちのドアを選んだほうが確率は多いでしょうか?』


    この問題を聞いてほとんどの人は1/2(50%)でどっちもどっちと答えると思います

    ではわかりやすくドアの枚数を増やしてみましょう(ドアの数が増えてもルールは変わらない)

    (ケース2)
    『あなたは賞品として車をもらえるゲームに参加しています。
    目の前に1,000,000つドアがあり、そのなかの一つは車(当たり)があり、残りの999,999つはヤギ(ハズレ)が隠されています。
    ではまず車が隠れていると思うドアの前に立ってください。
    次にゲームの司会者(車がどのドアにあるか知っている)が、あなたが選ばなかったドア(999,999つありますね)のうち一つだけ残るようにヤギのいるドアを開けます。
    この後、あなたはドアを1回だけ替えることができます。もちろん替えなくてもいいのです。最終的に選んだドアの後ろに車があれば、その車をもらえます。さて、どっちのドアを選んだほうが確率は多いでしょうか?』


    これを読んだ場合どう見ても替えたほうが確率は高いですね
    ドアの枚数だけは違いますがルールは変わっていません

    ではコレを踏まえて最初の問いを改めてみてみると・・・こちらも替えたほうが確率が高いという風になります

    最初3つのドアがあったときの当たりが含まれている確率はそれぞれ1/3ずつ
    あなたが1つドアを選んだときそのドアが当たりの確率は1/3
    あなたが選ばなかった方のドアの当たりの確率は1/3×2つ=2/3
    次に司会者が2つのドアのうちハズレのみを引いてドアを1つにする
    あなたが選んだ方のドアの当たりの確率は変わりませんね(1/3
    となると残っているもう一つのドアが当たりの確率は2/3ですね
    というわけで最後にドアを替えたほうが当たりを引く確率が高いというわけです


    では(ケース2)の場合、ドアが3つではなく1,000,000つもある場合だともっとよく分かりますね
    最初1,000,000つのドアがあったとき当たりが含まれている確率はそれぞれ1/1000000ずつ
    あなたが1つドアを選んだときそのドアが当たりの確率は1/1000000
    あなたが選ばなかったドアの当たりの確率は1/1000000×999,999つ=999999/1000000
    次に司会者が999,999のドアのうちハズレのみを引いてドアを1つにする
    あなたが選んだ方のドアの当たりの確率は変わりませんね(1/1000000
    となると残っているもう一つのドアが当たりの確率は999999/1000000
    ですね
    というわけで最後にドアを替えたほうが当たりを引く確率が高いというわけです(最初に自分が選んだドアに当たりである確率が0.000001%しかないですね)

    ドアの枚数が多くなればなるほどに最後に替えるほうが確率は多くなっていきます
    実はコレかなり有名な確率の問題で「モンティ・ホール・ジレンマ」といいます
    数学者達も誤解した人が多かったそうな


    ちなみにこれはくわしく解説されているサイトで理解しました
    DOFI-BLOG どふぃぶろぐさんのネコのFlashが一番わかりやすかった(「文章のみしかない」のと「絵も有る」のとでは理解にするのに大きな差がありますね)


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